已知函数
f
（
x
）
=
a
e
2
x
-
（
a
+
1
）
e
x
+
ex
（
a
＞
0
）
，
g
（
x
）
=
（
x
-
1
）
2
x
e
x
（
x
≠
0
）
．
（1）求证：函数f（x）在（0，1）上有唯一零点x₀；
（2）若方程g（x）=a有且仅有一个正数解x₁，求证：
x
0
＜
x
1
＜
1
a
2
+
1
．

【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析．

【解答】

【点评】

声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。

发布：2024/6/27 10:35:59组卷：70引用：1难度：0.3

相似题

1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：299引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：48引用：4难度：0.5
解析
3．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：198引用：2难度：0.1
解析

已知函数f（x）=ae2x-（a+1）ex+ex（a＞0），g（x）=（x-1）2xex（x≠0）．（1）求证：函数f（x）在（0，1）上有唯一零点x0；（2）若方程g（x）=a有且仅有一个正数解x1，求证：x0＜x1＜1a2+1．