设椭圆C：

x

2

2

+y²=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

【考点】直线与椭圆的综合．

【答案】（1）y=-x+，y=x-，
（2）法一：当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x-1），k≠0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁＜，x₂＜，
直线MA，MB的斜率之和为k_MA，k_MB之和为k_MA+k_MB=+，
由y₁=kx₁-k，y₂=kx₂-k得k_MA+k_MB=，
将y=k（x-1）代入+y²=1可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=，x₁x₂=，
∴2kx₁x₂-3k（x₁+x₂）+4k=（4k³-4k-12k³+8k³+4k）=0
从而k_MA+k_MB=0，
故MA，MB的倾斜角互补，
∴∠OMA=∠OMB，
综上∠OMA=∠OMB．
法二：当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x-1），k≠0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设x₁＞0，x₂＜0，
由题意可知，∠OMA，∠OMB均为锐角，
要证∠OMA=∠OMB，只需证tan∠OMA=tan∠OMB，即证，
只需证（x₁-1）（2-x₂）=-（x₂-1）（1-x₁），即3（x₁+x₂）-2x₁x₂-4=0①，
将y=k（x-1）代入+y²=1可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=，x₁x₂= ②，
将②代入①可得，，即原式成立．