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关于椭圆的切线有下列结论：若P（x1，y1）是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的一点，则过点P的椭圆的切线方程为x1xa2+y1yb2=1．已知椭圆C：x24+y23=1，过椭圆C外一点M（x0，y0）作椭圆的两条切线MA，MB（A，B为切点）．
（Ⅰ）利用上述结论，求直线AB的方程；
（Ⅱ）设椭圆的右焦点为F，求证：|MF|2|FA||FB|=x204+y203．
x
2
a
2
y
2
b
2
x
1
x
a
2
+
y
1
y
b
2
=
1
x
2
4
+
y
2
3
=
1
|
MF
|
2
|
FA
|
|
FB
|
=
x
2
0
4
+
y
2
0
3
【考点】椭圆的切线方程及性质．
【答案】（Ⅰ）+=1．
（Ⅱ）证明：由（I）可得：直线AB的方程为：+=1．
与椭圆C：方程联立化为：x2-x+1-=0，
则x1+x2=，x1x2=．
∵F（1，0），∴|FA|===2-x1．
同理可得：|FB|=2-x2．
又|MF|2=+，
∴．
x
0
x
4
y
0
y
3
（Ⅱ）证明：由（I）可得：直线AB的方程为：
x
0
x
4
y
0
y
3
与椭圆C：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（
x
2
0
16
+
y
2
0
12
）
x
0
2
y
2
0
3
则x1+x2=
x
0
2
x
2
0
16
+
y
2
0
12
1
-
y
2
0
3
x
2
0
16
+
y
2
0
12
∵F（1，0），∴|FA|=
（
x
1
-
1
）
2
+
y
2
1
（
x
1
-
1
）
2
+
3
-
3
4
x
2
1
1
2
同理可得：|FB|=2-
1
2
又|MF|2=
（
x
0
-
1
）
2
y
2
0
∴
|
MF
|
2
|
FA
|
|
FB
|
=
x
2
0
4
+
y
2
0
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/11/7 8:0:2组卷：251引用：1难度：0.3
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