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二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简：
1
2
-
1
．
解：将分子、分写同乘以
2
+
1
得
1
2
-
1
=
2
+
1
（
2
-
1
）
（
2
+
1
）
=
2
+
1
．
类比应用：（1）化简：
1
2
3
-
11
=
2
3
+
11
2
3
+
11
．
（2）化简：
1
2
+
1
+
1
3
+
2
+…+
1
9
+
8
．
拓展延伸：宽与长的比是
5
-
1
2
的矩形叫黄金矩形，如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC=
5
+
1
2
5
+
1
2
；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连接AE，则点D到线段AE的距离为
10
+
2
4
10
+
2
4
．

【考点】黄金分割；正方形的性质；矩形的性质；二次根式的混合运算；分母有理化；平方差公式．

【答案】2

；

【解答】

【点评】

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发布：2025/6/5 3:0:1组卷：1226引用：3难度：0.5

相似题

1．在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足
AC
BC
=
BC
AB
=
5
-
1
2
，长久以来，很多人认为
5
-
1
2
是个很特别的数，若
5
-
1
2
介于两个连续（相邻）的整数a与b（a＜b）之间，则3a+4b的算术平方根为
．
发布：2025/6/7 14:0:1组卷：54引用：1难度：0.6
解析
2．阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简
1
3
-
2
．
解：将分子、分母同乘以
3
+
2
得：
1
3
-
2
=
3
+
2
（
3
-
2
）
（
3
+
2
）
=
3
+
2
．
拓展延伸：
宽与长的比是
5
-
1
2
的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形ABCD的宽
AB
=
2
．
（1）求黄金矩形ABCD中BC边的长；
（2）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论．
发布：2025/6/7 7:0:1组卷：287引用：4难度：0.5
解析
3．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法：
第一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第二：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM和线段BN．
（1）请问图中∠1、∠2和∠3有什么关系？证明你的结论．
（2）在第（1）题图中，延长BN交AD于G，过G点作GH⊥BC于点H，得出一个以DG为宽的黄金矩形GHCD（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为
5
-
1
2
），若已知AB=4，求BC的长．
发布：2025/6/5 20:0:2组卷：214引用：2难度：0.4
解析