已知函数
f
（
x
）
=
xlnx
+
1
2
a
x
3
-
a
x
2
（
a
∈
R
）
．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的最值；
（Ⅱ）若
f
（
x
）
≤
1
2
a
x
3
-
x
恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若函数
g
（
x
）
=
f
（
x
）
x
存在两个极值点x₁，x₂（x₁≠x₂），求g（x₁）+g（x₂）的取值范围．

【答案】（I）函数f（x）取得最小值为

（

）

．
（Ⅱ）实数a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅲ）g（x₁）+g（x₂）的取值范围是（-∞，-ln4-3）．

【解答】

【点评】

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发布：2024/7/5 8:0:9组卷：244引用：5难度：0.3

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1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：297引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：48引用：4难度：0.5
解析
3．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：187引用：2难度：0.1
解析

已知函数f（x）=xlnx+12ax3-ax2（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的最值；（Ⅱ）若f（x）≤12ax3-x恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）x存在两个极值点x1，x2（x1≠x2），求g（x1）+g（x2）的取值范围．