如图1，抛物线y=14x2+bx+c,点A（4，-3），对称轴是直线x=2．顶点为D．抛物线与y轴交于点C，连接AC，过点A作AB⊥x轴于点B，点E是线段AC上的动点（点E不与A、C两点重合）．
（1）求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
（2）若直线DE将四边形OBAC分成面积比为1：3的两个四边形，求点E的坐标；
（3）如图2，连接BE，作矩形BEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F也恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．
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4
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x2-x-3，D（2，-4）；
（2）（，-3）或（，-3）；
（3）存在，．
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（2）（
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（3）存在，
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：277引用：1难度：0.1
相似题
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1．【学习新知】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t,则另一个根为2t,因此ax2+bx+c=a（x-t）（x-2t）=ax2-3atx+2t2a,所以有b2-ac=0．92
我们记“K=b2-ac”，即K=0时，方程ax2+bx+c=0为倍根方程．92
【问题解决】
（1）方程①x2-x-2=0；②x2-6x+8=0；③6x2+x=0；④x2+2x+13=0，这几个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；83
（2）若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；
（3）关于x的一元二次方程x2-x+mn=0（m≥0）是倍根方程，且点A（m,n）在一次函数y=3x-8的图象上，求此倍根方程的表达式并求出方程的解．23发布：2025/6/7 2:30:1组卷：324引用：2难度：0.1 -
2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1.0）、B（-3，0）两点，与y轴交于C（0.3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为抛物线上一动点，点P在直线BC上方时，求△BPC面积的最大值；
（3）若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C．M．N为平行四边形？如果存在，直接写出点N的坐标：如果不存在，请说明理由．
发布：2025/6/7 2:30:1组卷：306引用：4难度：0.2 -
3．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式．
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D，使S△ABC=S△ABD？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．23
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求点E的坐标．发布：2025/6/6 23:30:1组卷：40引用：1难度：0.3
