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已知动圆经过定点D（1，0），且与直线x=-1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C
（Ⅰ）求取曲线C的方程；
（Ⅱ）设过点P（1，2）的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值．
【答案】（Ⅰ）y2=4x．
（Ⅱ）证明：设直线l1方程为：y=k（x-1）+2，
∵直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，
∴l2的方程为y=-k（x-1）+2．
联立方程组
，消元得：k2x2-（2k2-4k+4）x+（k-2）2=0，
设A（x1，y1），则x1==．
同理可得x2=，
∴x1+x2=，x1-x2==．
∴y1-y2=[k（x1-1）+2]-[-k（x2-1）+2]=k（x1+x2）-2k=．
∴kAB==-1．
∴直线AB的斜率为定值-1．
（Ⅱ）证明：设直线l1方程为：y=k（x-1）+2，
∵直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，
∴l2的方程为y=-k（x-1）+2．
联立方程组
y = k （ x - 1 ） + 2 |
y 2 = 4 x |
设A（x1，y1），则x1=
（
k
-
2
）
2
k
2
k
2
-
4
k
+
4
k
2
同理可得x2=
k
2
+
4
k
+
4
k
2
∴x1+x2=
2
k
2
+
8
k
2
-
8
k
k
2
-
8
k
∴y1-y2=[k（x1-1）+2]-[-k（x2-1）+2]=k（x1+x2）-2k=
2
k
2
+
8
k
-
2
k
=
8
k
∴kAB=
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
∴直线AB的斜率为定值-1．
【解答】
【点评】
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发布：2024/12/29 2:30:1组卷：223引用：6难度：0.3
