已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2•[f′（x）+m2]在区间（t,3）上都不是单调函数，求实数m的取值范围．
（2）讨论函数F（x）=f（x）+（1-a）lnx+1-ax的单调性．
m
2
1
-
a
x
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【答案】（1）m的取值范围是（-，-9）；
（2）a≤0时，F（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
0＜a＜时，F（x）在（0，1），（，+∞）递减，在（1，）递增，
a=时，F（x）在（0，+∞）递减，
＜a＜1时，F（x）在（0，），（1，+∞）递减，在（，1）上递增，
a≥1时，F（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．
37
3
（2）a≤0时，F（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
0＜a＜
1
2
1
-
a
a
1
-
a
a
a=
1
2
1
2
1
-
a
a
1
-
a
a
a≥1时，F（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．
【解答】
【点评】
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