如图，⊙O的半径为5，弦BC=6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．
（1）求证：P为优弧BAC的中点；
（2）连接PC，求PC的长度；
（3）求sin∠BAC的值；
（4）若△ABC为非锐角三角形，请直接写出△ABC的面积的最大值．
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）3；
（3）；
（4）24．
（2）3
10
（3）
3
5
（4）24．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：97引用：1难度：0.1
相似题
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1．问题探究
（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．
①若∠A=60°，AB=AC，如图1，试证明BC=CD+BE；
②将①中的条件“AB=AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB=2∠ACD，∠CAD=2∠CAB，如图3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．
发布：2025/6/14 18:30:4组卷：1848引用：5难度：0.2 -
2．【数学概念】
有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”．
【概念理解】
（1）关于“对分四边形”，下列说法正确的是 ．（填所有正确的序号）
①菱形是“对分四边形”
②“对分四边形”至少有两组邻边相等
③“对分四边形”的对角线互相平分
【问题解决】
（2）如图①，PA为⊙O的切线，A为切点．在⊙O上是否存在点B、C，使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？
请根据小明的作法补全图形，并证明四边形PACB是“对分四边形”．小明的作法：
①以P为圆心，PA长为半径作弧，与⊙O交于点B；
②连接PO并延长，交⊙O于点C；
③点B、C即为所求．
（3）如图②，已知线段AB和直线l,请在图②中利用无刻度的直尺和圆规，在直线l上作出点M、N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是“对分四边形”．（只要作出一个即可，不写作法，保留作图痕迹）
（4）如图③，⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB=8，点C是⊙O上的动点，若存在四边形ABCD是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是⊙O的切线，直接写出AC的长度．
发布：2025/6/14 20:30:2组卷：977引用：3难度：0.1 -
3．如图，⊙M经过O点，并且分别与 x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，线段OA，OB（OA＞OB）的长是方程 x2-17x+60=0的两根．
（1）求线段OA、OB的长；
（2）已知点C在⊙M的劣弧上，MC⊥OA，垂足为点N，求点C的坐标；ˆOA
（3）在（2）的条件下，连结BC交OA于D点，在⊙M上是否存在一点P，使△POD的面积和△ABD的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
（4）若C在优弧OA上，作直线BC交x轴于点D．是否存在△COB∽△CDO？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/14 17:0:2组卷：43引用：1难度：0.2
