动点P到定点F（0，1）的距离之比它到直线y=-2的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A，B两个不同的点，过点A，B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M．
（1）求曲线C的方程；
（2）求证：AB•MF=0；
（3）求△ABM的面积的最小值．
AB
•
MF
=
0
【考点】圆锥曲线的轨迹问题．
【答案】（1）x2=4y．
（2）证：设直线AB的方程为：y=kx+1
由
得：x2-4kx-4=0，
设A（xA，yA），B（xB，yB），则xA+xB=4k，xA•xB=-4，
设过点A的切线方程为y=k（x-xA）+yA，
联立x2=4y得：，
由Δ=0可得k=，
同理过点B的切线斜率k=，
∴直线AM的方程为：xAx=2（y+yA）…①，
直线BM的方程为：xBx=2（y+yB）…②，
①-②得：x（xA-xB）=2（yA-yB）=，即x==2k，
将x=代入①得：y=-1
∴故M（2k，-1），
∴
∴，
（3）4．
（2）证：设直线AB的方程为：y=kx+1
由
x 2 = 4 y |
y = kx + 1 |
设A（xA，yA），B（xB，yB），则xA+xB=4k，xA•xB=-4，
设过点A的切线方程为y=k（x-xA）+yA，
联立x2=4y得：
x
2
-
4
kx
+
4
k
x
A
-
x
A
2
=
0
由Δ=0可得k=
1
2
x
A
同理过点B的切线斜率k=
1
2
x
B
∴直线AM的方程为：xAx=2（y+yA）…①，
直线BM的方程为：xBx=2（y+yB）…②，
①-②得：x（xA-xB）=2（yA-yB）=
1
2
（
x
A
2
-
x
B
2
）
x
A
+
x
B
2
将x=
x
A
+
x
B
2
∴故M（2k，-1），
∴
MF
=
（
2
k
，-
2
）
，
AB
=
（
x
B
-
x
A
，
k
（
x
B
-
x
A
）
）
∴
AB
•
MF
=
2
k
（
x
B
-
x
A
）
-
2
k
（
x
B
-
x
A
）
=
0
（3）4．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：727引用：7难度：0.3
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