如图1，O是平面直角坐标系的原点，菱形ABCO的顶点A（3，4），点C在x轴的正半轴上，
（1）求菱形ABCO的边长及AC的长；
（2）如图2，若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA向终点A运动，设运动时间为t秒，求t为何值时线段OP与AC所夹锐角的正切值为4？
（3）如图3，在（2）的条件下，还有一个动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OCB向终点B运动（点P与Q同时出发），求△BPQ的面积S关于t的函数关系式，写出S的最大值．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）菱形ABCO的边长为5，AC的长为2；
（2）t为时，线段OP与AC所夹锐角的正切值为4；
（3）S=
，S的最大值为5．
5
（2）t为
10
3
（3）S=
2 t | （ 0 ＜ t ≤ 2 . 5 ） |
- 4 5 t 2 + 4 t | （ 2 . 5 ＜ t ＜ 5 ） |
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：12引用：1难度：0.2
相似题
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1．问题提出：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P是对角线AC上的一点，连接PD，将PD绕点P逆时针旋转90°得到PM，过点M作MN⊥AC于N，求PN的长．
问题解决：
（2）2022年3月我省局部发生疫情，为落实“科学防治、精准施策、分级管理”，我省某小区设计防疫区域，在道路CD边固定柱子（点Q），道路AB边确定一点P，以PQ为边，搭建正方形防疫区域PMNQ，内部道路CD上设点E作为记录处，△EPQ、△EPM、△EMN、△ENQ分别为不同的防疫物资放置区域，设计图简化如图2所示，已知道路两边AB∥CD，道路宽为6m,Q为CD上一定点，P为AB上一动点，PE⊥CD于E．请问是否存在符合设计要求且面积最小的△EMN？若存在，请求出面积最小值及此时QE的长；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/25 5:0:4组卷：214引用：2难度：0.1 -
2．【概念理解】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形如图①．
我们学习过的四边形中是垂美四边形的是 ；（写出一种即可）
【性质探究】
利用图①，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系是 ；
【性质应用】
（1）如图②，在△ABC中，BC=6，AC=8，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，CD，若AE⊥CD，则AB的长为 ；
（2）如图③，等腰Rt△BCE和等腰Rt△ADE中，∠BEC=∠AED=90°，AC与BD交于O点，BD与CE交于点F，AC与DE交于点G．若BE=6，AE=8，AB=12，求CD的长；
【拓展应用】如图④，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD、AB、CD的中点，EF⊥CF，AD=6，AB=8，求BG的长．发布：2025/5/25 5:0:4组卷：292引用：1难度：0.1 -
3．【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG=EG．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=10，AE=6，求的值．DEBC
【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=8，求BF的长．发布：2025/5/25 5:0:4组卷：1609引用：1难度：0.1
