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如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0),B(4,0),与y轴正半轴交于点C,且OC=2OA,抛物线的顶点为D,对称轴交x轴于点E.直线y=mx+n经过B,C两点.
(1)求抛物线及直线BC的函数表达式;
(2)点F是抛物线对称轴上一点,当FA+FC的值最小时,求出点F的坐标及FA+FC的最小值;
(3)连接AC,若点P是抛物线上对称轴右侧一点,点Q是直线BC上一点,试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ,且满足tan∠EQP=tan∠OCA.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】二次函数综合题
【答案】(1)抛物线的表达式为y=-
1
2
x2+x+4;直线BC的表达式为y=-x+4;
(2)点F的坐标为(1,3)、FA+FC的最小值为4
2

(3)存在,点P的坐标为(
7
2
7
+
1
2
)或(
13
2
13
-
5
2
).
【解答】
【点评】
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发布:2025/5/25 6:30:1组卷:4306引用:12难度:0.3
相似题
  • 1.如图,对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且点A的坐标为(-1,0).
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)点D在抛物线的对称轴上,求AD+CD的最小值;
    (3)若点P是第四象限内抛物线上一个点,求S△PBC的最大值.

    发布:2025/6/11 19:0:1组卷:49引用:2难度:0.4
  • 2.如图,抛物线y=-(x-1)2+4与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,作CD∥x轴,交抛物线于另一点D,连结AC,BC.
    (1)点B的坐标为
    ,点D的坐标为

    (2)动点E从点B出发,以1个单位/秒的速度沿线段BC向终点C运动,设运动时间为t秒,则当以C,D,E为顶点的三角形与△ACB相似时,求t的值.

    发布:2025/6/11 19:0:1组卷:67引用:1难度:0.3
  • 3.已知抛物线L1:y=a(x+1)2-4(a≠0)经过点A(1,0).
    (1)求抛物线L1的函数表达式.
    (2)将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2.若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上,求m的值.
    (3)把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得到抛物线L3,若点B(1,y1),C(3,y2)在抛物线L3上,且y1>y2,求n的取值范围.

    发布:2025/6/11 19:30:1组卷:2926引用:6难度:0.2
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