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【学习新知】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.
研究发现了此类方程的一般性结论:设其中一根为t,则另一个根为2t,因此ax2+bx+c=a(x-t)(x-2t)=ax2-3atx+2t2a,所以有b2-
9
2
ac=0.
我们记“K=b2-
9
2
ac”,即K=0时,方程ax2+bx+c=0为倍根方程.
【问题解决】
(1)方程①x2-x-2=0;②x2-6x+8=0;③6x2+x=0;④
1
3
x2+2x+
8
3
=0,这几个方程中,是倍根方程的是
②④
②④
(填序号即可);
(2)若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程,求4m2+5mn+n2的值;
(3)关于x的一元二次方程x2-
m
x+
2
3
n=0(m≥0)是倍根方程,且点A(m,n)在一次函数y=3x-8的图象上,求此倍根方程的表达式并求出方程的解.

【考点】二次函数综合题
【答案】②④
【解答】
【点评】
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发布:2025/6/7 2:30:1组卷:324引用:2难度:0.1
相似题
  • 1.如图,抛物线y=-
    1
    2
    x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C.连接AC,BC,点P在抛物线上运动.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)若点P在第四象限,点Q在PA的延长线上,当∠CAQ=∠CBA+45°时,求点P的坐标.

    发布:2025/6/7 20:0:2组卷:80引用:1难度:0.2
  • 2.如图①,定义:直线l:y=mx+n(m<0,n>0)与x,y轴分别相交于A,B两点.将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD,过点A,B,D的抛物线P叫作直线l的“纠缠抛物线”,反之,直线l叫做抛物线P的“纠缠直线”,两线“互为纠缠线”.
    (1)已知直线l:y=-2x+2,则它的纠缠抛物线P的函数解析式是

    (2)判断y=-2x+2k与
    y
    =
    -
    1
    k
    x
    2
    -
    x
    +
    2
    k
    是否“互为纠缠线”并说明理由.
    (3)如图②,已知直线l:y=-2x+4,它的纠缠抛物线P的对称轴与CD相交于点E.点F在直线l上.点Q在抛物线P的对称轴上,当以点C,E,Q,F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时,直接写出点Q的坐标.

    发布:2025/6/7 21:0:1组卷:47引用:1难度:0.3
  • 3.如图,抛物线y=ax2+bx与x轴交于点A(-2,0),与反比例函数y=
    3
    x
    图象交于点B,过点B作BQ⊥y轴于点Q,BQ=1.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)若点P是抛物线对称轴上一点,当BP+OP的值最小时,求线段QP的长;
    (3)若点M是平面直角坐标系内任意一点,在抛物线的对称轴上是否存在一点D,使得以A,B,D,M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

    发布:2025/6/7 17:30:1组卷:37引用:1难度:0.4
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