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【学习新知】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.
研究发现了此类方程的一般性结论:设其中一根为t,则另一个根为2t,因此ax2+bx+c=a(x-t)(x-2t)=ax2-3atx+2t2a,所以有b2-
9
2
ac=0.
我们记“K=b2-
9
2
ac”,即K=0时,方程ax2+bx+c=0为倍根方程.
【问题解决】
(1)方程①x2-x-2=0;②x2-6x+8=0;③6x2+x=0;④
1
3
x2+2x+
8
3
=0,这几个方程中,是倍根方程的是
②④
②④
(填序号即可);
(2)若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程,求4m2+5mn+n2的值;
(3)关于x的一元二次方程x2-
m
x+
2
3
n=0(m≥0)是倍根方程,且点A(m,n)在一次函数y=3x-8的图象上,求此倍根方程的表达式并求出方程的解.

【考点】二次函数综合题
【答案】②④
【解答】
【点评】
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发布:2025/6/7 2:30:1组卷:324引用:2难度:0.1
相似题
  • 1.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C(8,0),B(0,6),CD=5,抛物线y=ax2-
    15
    4
    x+c(a≠0)过B,C两点,动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动.动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动,到达C点后,立即返回,向CO方向运动,到达O点后,又立即返回,依此在线段OC上反复运动,当点M停止运动时,点N也停止运动,设运动时间为t.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)求点D的坐标;
    (3)当点M,N同时开始运动时,若以点M,D,C为顶点的三角形与以点B,O,N为顶点的三角形相似,直接写出t的值.

    发布:2025/6/7 16:30:2组卷:39引用:2难度:0.1
  • 2.如图1,抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=8,B点横坐标为2,延长矩形OBDC的DC边交抛物线于E.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)如图2,若点P是直线EO上方的抛物线上的一个动点,过点P作x轴的垂线交直线EO于点M,求PM的最大值;
    (3)如图3,如果点F是抛物线对称轴l上一点,抛物线上是否存在点G,使得以F,G,A,C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有满足条件的点G的坐标;若不存在,请说明理由.

    发布:2025/6/7 7:0:1组卷:565引用:8难度:0.1
  • 3.如图,抛物线y=ax2+bx与x轴交于点A(-2,0),与反比例函数y=
    3
    x
    图象交于点B,过点B作BQ⊥y轴于点Q,BQ=1.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)若点P是抛物线对称轴上一点,当BP+OP的值最小时,求线段QP的长;
    (3)若点M是平面直角坐标系内任意一点,在抛物线的对称轴上是否存在一点D,使得以A,B,D,M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

    发布:2025/6/7 17:30:1组卷:37引用:1难度:0.4
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