已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
3
2
【答案】（1）+y2=1；
（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=±；
此时，原点O到直线AB的距离为；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
代入椭圆方程x2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
则Δ=（8km）2-4（1+4k2）（4m2-4）=16（1+4k2-m2）＞0，
x1+x2=-，x1x2=，
则y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=k2•+km（-）+m2=，
由OA⊥OB得kOAkOB=-1，即x1x2+y1y2=0，
所以=0，即m2=（1+k2），
所以原点O到直线AB的距离为d==，
综上，原点O到直线AB的距离为定值．
x
2
4
（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=±
2
5
5
此时，原点O到直线AB的距离为
2
5
5
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
代入椭圆方程x2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
则Δ=（8km）2-4（1+4k2）（4m2-4）=16（1+4k2-m2）＞0，
x1+x2=-
8
km
1
+
4
k
2
4
m
2
-
4
1
+
4
k
2
则y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=k2•
4
m
2
-
4
1
+
4
k
2
8
km
1
+
4
k
2
m
2
-
4
k
2
1
+
4
k
2
由OA⊥OB得kOAkOB=-1，即x1x2+y1y2=0，
所以
5
m
2
-
4
-
4
k
2
1
+
4
k
2
4
5
所以原点O到直线AB的距离为d=
|
m
|
1
+
k
2
2
5
5
综上，原点O到直线AB的距离为定值
2
5
5
【解答】
【点评】
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