已知函数f（x）=e^x+ax（a∈R），g（x）=ln（x+1）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（0，1）处的切线；
（Ⅱ）若f（x）≥1-g（x）对任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：x＞0时，（e^x-1）g（x）＞x²．

【答案】（I）y=2x+1；
（Ⅱ）[-2，+∞）；
（Ⅲ）证明见解析．

【解答】

【点评】

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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：454引用：2难度：0.2

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1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：297引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：187引用：2难度：0.1
解析
3．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：48引用：4难度：0.5
解析

已知函数f（x）=ex+ax（a∈R），g（x）=ln（x+1）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（0，1）处的切线；（Ⅱ）若f（x）≥1-g（x）对任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：x＞0时，（ex-1）g（x）＞x2．