已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【考点】直线与抛物线的综合．
【答案】（Ⅰ）抛物线C的方程为x2=-4y，准线方程为y=1；
（Ⅱ）证明：抛物线x2=-4y的焦点为F（0，-1），
设直线方程为y=kx-1，联立抛物线方程，可得x2+4kx-4=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
可得x1+x2=-4k，x1x2=-4，
直线OM的方程为y=x，即y=-x，
直线ON的方程为y=x，即y=-x，
可得A（，-1），B（，-1），
可得AB的中点的横坐标为2（+）=2•=2k，
即有AB为直径的圆心为（2k，-1），
半径为=|-|=2•=2，
可得圆的方程为（x-2k）2+（y+1）2=4（1+k2），
化为x2-4kx+（y+1）2=4，
由x=0，可得y=1或-3．
则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0，1），（0，-3）．
（Ⅱ）证明：抛物线x2=-4y的焦点为F（0，-1），
设直线方程为y=kx-1，联立抛物线方程，可得x2+4kx-4=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
可得x1+x2=-4k，x1x2=-4，
直线OM的方程为y=
y
1
x
1
x
1
4
直线ON的方程为y=
y
2
x
2
x
2
4
可得A（
4
x
1
4
x
2
可得AB的中点的横坐标为2（
1
x
1
1
x
2
-
4
k
-
4
即有AB为直径的圆心为（2k，-1），
半径为
|
AB
|
2
1
2
4
x
1
4
x
2
16
k
2
+
16
4
1
+
k
2
可得圆的方程为（x-2k）2+（y+1）2=4（1+k2），
化为x2-4kx+（y+1）2=4，
由x=0，可得y=1或-3．
则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0，1），（0，-3）．
【解答】
【点评】
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