已知点P（1，32）在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，F（1，0）是椭圆的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C上不与P点重合的两点D，E关于原点O对称，直线PD，PE分别交y轴于M，N两点，求证：以MN为直径的圆被直线y=32截得的弦长是定值．
P
（
1
，
3
2
）
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
y
=
3
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（I）=1．
（II）证明：设直线DE的方程为：ty=x，D（x1，y1），E（-x1，-y1）．
联立
，可得：y2=．
D，E．
直线PD的方程为：y-=（x-1），可得M（0，-）．
直线PE的方程为：y-=（x-1），可得N（0，-）．
以MN为直径的圆的方程为：x2+（y-+）（y-+）=0，
∴把y=代入可得：x2+=0．即x2=．
解得x=±．
因此被直线截得的弦长=是定值．
x
2
4
+
y
2
3
（II）证明：设直线DE的方程为：ty=x，D（x1，y1），E（-x1，-y1）．
联立
ty = x |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
12
3
t
2
+
4
D
（
2
3
t
3
t
2
+
4
，
2
3
3
t
2
+
4
）
（
-
2
3
t
3
t
2
+
4
，
-
2
3
3
t
2
+
4
）
直线PD的方程为：y-
3
2
4
3
-
3
3
t
2
+
4
4
3
t
-
2
3
t
2
+
4
3
2
4
3
-
3
3
t
2
+
4
4
3
t
-
2
3
t
2
+
4
直线PE的方程为：y-
3
2
4
3
+
3
3
t
2
+
4
4
3
t
+
2
3
t
2
+
4
3
2
4
3
+
3
3
t
2
+
4
4
3
t
+
2
3
t
2
+
4
以MN为直径的圆的方程为：x2+（y-
3
2
4
3
-
3
3
t
2
+
4
4
3
t
-
2
3
t
2
+
4
3
2
4
3
+
3
3
t
2
+
4
4
3
t
+
2
3
t
2
+
4
∴把y=
3
2
48
-
9
（
3
t
2
+
4
）
48
t
2
-
4
（
3
t
2
+
4
）
3
4
解得x=±
3
2
因此被直线
y
=
3
2
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：954引用：4难度：0.1
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