已知双曲线x2a2-y23=1（a＞0）的离心率e=2，抛物线C的准线经过其左焦点．
（1）求抛物线C的标准方程及其准线方程；
（2）若过抛物线C焦点F的直线l与该抛物线交于A，B两个不同的点，求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．
x
2
a
2
-
y
2
3
=
1
【考点】直线与双曲线的综合．
【答案】（1）抛物线的方程为y2=8x，准线为x=-2；
（2）证明：设直线AB的方程为x=my+2，
代入抛物线方程可得y2-8my-16=0，
设A（，y1），B（，y2），
则y1+y2=8m，y1y2=-16，
可得AB的中点M的横坐标为（+）
=（y1+y2）2-y1y2=4m2+2，
则M到准线的距离为4m2+4，
|AB|=+4=+4
=+4=8m2+8，
可得M到准线的距离为|AB|，
即以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．
（2）证明：设直线AB的方程为x=my+2，
代入抛物线方程可得y2-8my-16=0，
设A（
y
1
2
8
y
2
2
8
则y1+y2=8m，y1y2=-16，
可得AB的中点M的横坐标为
1
16
y
2
1
y
2
2
=
1
16
1
8
则M到准线的距离为4m2+4，
|AB|=
y
1
2
+
y
2
2
8
（
y
1
+
y
2
）
2
-
2
y
1
y
2
8
=
64
m
2
+
32
8
可得M到准线的距离为
1
2
即以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：81引用：2难度：0.6
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