尝试：如图①，△ABC中，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到△AB′C′，点B、C的对应点分别为B′、C′，连接BB′、CC′，图中有哪一对相似三角形，给出证明；
拓展：如图②，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到△AB′C′，点B、C的对应点分别为B′、C′，连接BB′、CC′，若BB′=8，求CC′的长；
应用：如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，∠ABC=30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，当点B的对应点B′恰好落在Rt△ABC的BC边所在的直线上时，直接写出此时点C的运动路径长．
【考点】相似形综合题．
【答案】尝试：△ABB′∽△ACC′，证明见解答；拓展：；应用：点C的运动路径长为或2π．
CC
′
=
4
2
2
π
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：391引用：4难度：0.3
相似题
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1．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在Rt△ADE中，∠DAE=90°，2AD=AB，2AE=AC，连接DE，AN⊥BC，垂足为N，AM⊥DE，垂足为M．
（1）观察猜想
图①中，点D，E分别在AB，AC上时，的值为 ；BDCE的值为 ．BDMN
（2）探究证明
如图②，将△ADE绕点A顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），连接BD，CE，判断问题（1）中的数量关系是否仍然存在，并证明；
（3）拓展延伸
在△ADE旋转的过程中，设直线CE与BD相交于点F，若∠CAE=90°，AB=6，请直接写出线段BF的长．
发布：2025/5/23 17:0:1组卷：518引用：1难度：0.1 -
2．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，D为边BC上一动点（不与B、C重合），CD和AD的垂直平分线交于点E，连接AD、AE、DE和CE，ED与AC相交于点F，设∠CAE=a.
（1）请用含a的代数式表示∠CED的度数；
（2）求证：△ABC∽△AED；
（3）若a=30°，求EF：BD的值．发布：2025/5/23 14:0:1组卷：77引用：1难度：0.1 -
3．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，DE∥BC，BC=8，AF交DE于点G，则DG的长为 ；
问题探究
（2）如图②，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=4，点D为线段CB上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角△ADF，∠ADF=90°，AB与FD交于点E，连接BF，求证：△ACD∽△ABF；
问题解决
（3）如图是郊外一空地，为了美化生态环境，现要将这块地打造成一个公园，在空地一侧挖一个四边形的人工湖CDQP，点P、Q分别在边AB、AD上，且满足PB=AQ，已知AB=AD，∠ACB=∠BAD=90°，AB=500m,BC=300m,为了满足湖周边的建设用地需要，人工湖的面积需尽可能小，设PB的长为x（m），四边形CDQP的面积为S（m2）．
①求S与x之间的函数关系式；
②求人工湖面积的最小值及此时AQ的长．
发布：2025/5/23 16:0:1组卷：259引用：1难度：0.3
