已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足∠F1MF2=60°，且S△F1MF2=433
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（0，2）分别作直线PA、PB交椭圆C于A、B两点，设PA、PB的斜率分别是k1，k2，且k1+k2=4，求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围．
x
2
a
2
y
2
b
2
S
△
F
1
M
F
2
4
3
3
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】（1）；
（2）k＞0或k＜-；
证明：设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则
y=kx+m代入椭圆方程，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∵k1+k2=4，
∴，
∴m=k-2，
∴直线AB的方程为y=kx+k-2，即y=k（x+1）-2，
∴直线AB过定点（-1，-2）．
∵Δ=（4km）2-4（2k2+1）（2m2-8）＞0，m=k-2，
∴k（7k+4）＞0，
∴k＞0或k＜-．
x
2
8
+
y
2
4
=
1
（2）k＞0或k＜-
4
7
证明：设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则
y=kx+m代入椭圆方程，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，
∴x1+x2=-
4
km
2
k
2
+
1
2
m
2
-
8
2
k
2
+
1
∵k1+k2=4，
∴
k
x
1
+
m
-
2
x
1
+
k
x
2
+
m
-
2
x
2
=
4
∴m=k-2，
∴直线AB的方程为y=kx+k-2，即y=k（x+1）-2，
∴直线AB过定点（-1，-2）．
∵Δ=（4km）2-4（2k2+1）（2m2-8）＞0，m=k-2，
∴k（7k+4）＞0，
∴k＞0或k＜-
4
7
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/4/20 14:35:0组卷：207引用：6难度：0.1
相似题
-
1．阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为
，面积为8π，则椭圆C的方程为（ ）32发布：2024/12/29 12:0:2组卷：229引用：7难度：0.5 -
2．已知椭圆
=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（2，0），椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为6，则该椭圆的方程为（ ）x2a2+y2b2发布：2024/12/29 12:30:1组卷：12引用：2难度：0.7 -
3．已知椭圆C的两焦点分别为
、F1（-22，0），长轴长为6．F2（22，0）
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．发布：2024/12/29 11:30:2组卷：444引用：6难度：0.8
