有若干个正数的和为1275，其中每个正数都不大于50．小明将这些正数按下列要求进行分组：
①每组中所有数的和不大于150；
②从这些数中选择一些数构成第1组，使得150与这组数之和的差r₁与所有可能的其它选择相比是最小的，将r₁称为第1组的余差；
③在去掉已选入第1组的数后，对余下的数按第1组的选择方式构成第2组，这时的余差为r₂；
④如此继续构成第3组（余差为r₃）、第4组（余差为r₄）、…，第m组（余差为r_m），直到把这些数全部分完为止．
（1）除第m组外的每组至少含有
3
3
个正数；
（2）小明发现，按照要求进行分组后，得到的余差满足r₁≤r₂≤…≤r_m，并且当构成第n（n＜m）组后，如果从余下的数中任意选出一个数a,a与r_n的大小关系是一定的，请你直接写出结论：a
＞
＞
r_n（填“＞”或“＜”），并证明150-r_n-1＜
1125
n
-
1
；
（3）无论满足条件的正数有多少个，按照分组要求，它们最多可以分成
11
11
组（直接写出答案）．

【答案】3；＞；11

【解答】

【点评】

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发布：2024/8/9 8:0:9组卷：315引用：2难度：0.2

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1．观察下列等式：
①
3
2
-
1
2
4
=
1
+
1
；
②
4
2
-
2
2
4
=
1
+
2
；
③
5
2
-
3
2
4
=
1
+
3
；
④
6
2
-
4
2
4
=
1
+
4
；
⑤
7
2
-
5
2
4
=
1
+
5
；
…
（1）请按以上规律写出第⑥个等式
；
（2）猜想并写出第n个等式
；并证明猜想的正确性．
（3）利用上述规律，计算：
3
2
-
1
2
-
4
4
+
4
2
-
2
2
-
4
4
+
5
2
-
3
2
-
4
4
+
…
+
2021
2
-
2019
2
-
4
4
=
．
发布：2025/6/9 22:30:2组卷：254引用：4难度：0.4
解析
2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16　…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中符合这一规律的是（　　）
A．13=3+10 B．25=9+16 C．36=14+22 D．49=21+28
发布：2025/6/9 21:30:1组卷：160引用：4难度：0.6
解析
3．如图的数表，它有这样的规律：表中第1行为1，第n （n≥2）行两端的数均为n,其余每一个数都等于它肩上两个数的和，设第n （n≥2）行的第2个数为a_n，如a₂=2，a₃=4，则a_n+1-a_n=

（n≥2），a_n=

．
发布：2025/6/9 20:0:1组卷：124引用：2难度：0.7
解析

3．如图的数表，它有这样的规律：表中第1行为1，第n （n≥2）行两端的数均为n,其余每一个数都等于它肩上两个数的和，设第n （n≥2）行的第2个数为an，如a2=2，a3=4，则an+1-an= （n≥2），an= ．