“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”这是《岳阳楼记》中的一句千古名言，也是岳阳精神的真实写照，这句话具有鲜明的对称美．如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形ABCD沿对角线AC对折后完全重合，四边形ABCD是以直线AC为对称轴的“忧乐四边形”．
（1）下列四边形一定是“忧乐四边形”的有 ③④③④（填序号）；
①平行四边形②长方形③正方形④菱形⑤梯形
（2）在四边形ABCD中，点E是BC边上的中点，四边形ABEF是以直线AE为对称轴的“忧乐四边形”（点F在四边形ABCD内部），连接AF并延长交DC于点G．
①如图2，若四边形ABCD是矩形，求证：四边形FECG是“忧乐四边形”．
②如图3，若四边形ABCD是平行四边形，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）如图4，四边形ABCD是正方形，且点E为线段BC上的动点（不与B、C重合），四边形ABEF是以直线AE为对称轴的“忧乐四边形”（点F在正方形ABCD内部），连接DF并延长，与AE的延长线交于点H，连接CH，请直接写出DH，AH，CH三条线段之间的数量关系．
【考点】四边形综合题．
【答案】③④
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/1 8:0:9组卷：297引用：2难度：0.3
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1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）求四边形ABDE的周长和面积；
（3）记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．发布：2025/1/28 8:0:2组卷：577引用：1难度：0.2 -
2．如图，在菱形ABCD中，AB=10，sinB=
，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．35
（1）如图1，点G在AC上．求证：FA=FG．
（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似（包括全等）？
发布：2025/1/28 8:0:2组卷：2055引用：3难度：0.1 -
3．如图，菱形ABCD中，AB=5，连接BD，sin∠ABD=
，点P是射线BC上一点（不与点B重合），AP与对角线BD交于点E，连接EC．55
（1）求证：AE=CE；
（2）当点P在线段BC上时，设BP=n（0＜n＜5），求△PEC的面积；（用含n的代数式表示）
（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，请直接写出BP的长．发布：2025/1/28 8:0:2组卷：255引用：1难度：0.1
