如图①，已知抛物线y=mx2-3mx-4m（m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴交于点E，且OC=2OE．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）如图②Q（t,0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，若△MCN与△BQM相似，请求出Q的坐标；
（3）如图②Q（t,0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M'，是否存在点Q，使得M'恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+x+3；
（2）点Q的坐标为：（，0）或（3，0）；
（3）存在，点Q坐标为（，0）或（，0）．
3
4
9
4
（2）点Q的坐标为：（
11
9
（3）存在，点Q坐标为（
7
3
17
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：627引用：2难度：0.3
相似题
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1．如图1．抛物线y=ax2+2x+c,交x轴于A、B两点，交y轴于点C．当y≥0时-1≤x≤3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D是抛物线上第一象限的点．
①如图1连接AD，交线段BC于点G，若=DGAG时，求D点的坐标；12
②如图2，在①条件下，当点D靠近抛物线对称轴时，过点D作DP⊥x轴，点H是DP上一点，连接AH，求AH+DH的最小值；1010
（3）如图3，点D是抛物线上第一象限的点，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点试问，EM+EN是否为定值？如果是，请直接写出这个定值：如果不是，请说明理由．发布：2025/5/23 7:30:1组卷：347引用：1难度：0.4 -
2．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，M是抛物线顶点，△CBM的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．
①求tan∠CBE；
②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线AN上是否存在点P，使得△ACP与△BCE相似？如果存在，请求出点P的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，若∠AQC为锐角，且tan∠AQC＞1，请直接写出点Q纵坐标的取值范围．
发布：2025/5/23 7:0:1组卷：1401引用：4难度：0.1 -
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段PD的长．
②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．发布：2025/5/23 7:30:1组卷：4997引用：12难度：0.1
