两位同学将一个关于x的二次三项式ax2+bx+c分解因式时，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x-1）（x-9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x-2）（x-4）．
（1）求原来的二次三项式．
（2）将原来的二次三项式分解因式．
【考点】因式分解-十字相乘法等．
【答案】（1）2x2-12x+18；
（2）2（x-3）2．
（2）2（x-3）2．
【解答】
【点评】
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发布：2025/6/8 15:30:1组卷：301引用：3难度：0.7
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1．【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c（a≠0）分解因式呢？
我们已经知道：
（a1x+c1）（a2x+c2）=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2．反过来，就得到：a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）．我们发现，二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b,那么ax2+bx+c就可以分解为（a1x+c1）（a2x+c2），其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行，像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2×（-3）：然后把1，1，2，-3按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×（-3）+1×2=-1，恰好等于一次项的系数-1，于是x2-x-6就可以分解为（x+2）（x-3）．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x-6=．
【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（1）2x2+5x-7=；
（2）6x2-7xy+2y2=；
【探究与拓展】
对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x,y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解如图4．将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b,pk+pj=e,mk+nj=d,即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k），请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题．
（1）分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4=；
（2）若关于x,y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．发布：2025/6/8 9:0:1组卷：263引用：1难度：0.5 -
2．把多项式x2+2x-8因式分解，正确的是（ ）
发布：2025/6/8 11:30:1组卷：605引用：3难度：0.8 -
3．阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq,得x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．
例如：将式子x2+3x+2因式分解．
分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）因式分解：x2+7x-18= ；
（2）填空：若x2+px-8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ；
（3）利用因式解法解方程：x2-6x+8=0．发布：2025/6/8 8:30:1组卷：311引用：4难度：0.8
