动点P与点F（1，0）的距离和它到直线l：x=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C1．圆C2的圆心T是曲线C1上的动点，圆C2与y轴交于M，N两点，且|MN|=4．
（1）求曲线C1的方程；
（2）设点A（a,0）（a＞2），若点A到点T的最短距离为a-1，试判断直线l与圆C2的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）y2=4x．
（2）相离，理由如下：
设点T的坐标为（x0，y0），圆C2的半径为r，
∵点T是抛物线C1：y2=4x上的动点，
∴=4x0（x0≥0）．
∴
==．
∵a＞2，∴a-2＞0，则当x0=a-2时，|AT|取得最小值为，
依题意得=a-1，
两边平方得a2-6a+5=0，
解得a=5或a=1（不合题意，舍去）．
∴x0=a-2=3，=4x0=12，即．
∴圆C2的圆心T的坐标为（3，±2）．
∵圆C2与y轴交于M，N两点，且|MN|=4，
∴．
∴．
∵点T到直线l的距离，
∴直线l与圆C2相离．
（2）相离，理由如下：
设点T的坐标为（x0，y0），圆C2的半径为r，
∵点T是抛物线C1：y2=4x上的动点，
∴
y
2
0
∴
|
AT
|
=
（
x
0
-
a
）
2
+
（
y
0
-
0
）
2
=
x
2
0
-
2
a
x
0
+
a
2
+
4
x
0
[
x
0
-
（
a
-
2
）
]
2
+
4
a
-
4
∵a＞2，∴a-2＞0，则当x0=a-2时，|AT|取得最小值为
2
a
-
1
依题意得
2
a
-
1
两边平方得a2-6a+5=0，
解得a=5或a=1（不合题意，舍去）．
∴x0=a-2=3，
y
2
0
y
0
=±
2
3
∴圆C2的圆心T的坐标为（3，±2
3
∵圆C2与y轴交于M，N两点，且|MN|=4，
∴
|
MN
|
=
2
r
2
-
x
2
0
=
4
∴
r
=
4
+
x
2
0
=
13
∵点T到直线l的距离
d
=
|
x
0
+
1
|
=
4
＞
13
∴直线l与圆C2相离．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/4/20 14:35:0组卷：81引用：8难度：0.1
相似题
-
1．已知双曲线C：
-x2a2=1（a＞0，b＞0）的左，右顶点分别是A1，A2，圆x2+y2=a2与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线A1M交C的右支于点P，若△MPA2是等腰三角形，且∠PA2M的内角平分线与y轴平行，则C的离心率为（ ）y2b2发布：2024/12/17 19:30:2组卷：311引用：5难度：0.6 -
2．一个酒杯的截面是抛物线的一部分，其方程x2=2y（0≤y≤20），杯内放入一个球，要使球触及杯底部，则球的半径的取值范围为（ ）
发布：2025/1/5 23:30:4组卷：59引用：1难度：0.5 -
3．已知点M（1，2），点P在抛物线y2=8x上运动，点Q在圆（x-2）2+y2=1上运动，则|PM|+|PQ|的最小值为（ ）
发布：2024/12/28 23:0:1组卷：211引用：2难度：0.8
