已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率为22．直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
2
2
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，消去y得，（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，
则，
∵M为线段AB的中点，∴，，
∴，
∴为定值．
（Ⅲ）．
x
2
2
+
y
2
=
1
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
y = k （ x - 1 ） |
x 2 2 + y 2 = 1 |
则
x
1
+
x
2
=
4
k
2
2
k
2
+
1
∵M为线段AB的中点，∴
x
M
=
x
1
+
x
2
2
=
2
k
2
2
k
2
+
1
y
M
=
k
（
x
M
-
1
）
=
-
k
2
k
2
+
1
∴
k
OM
=
y
M
x
M
=
-
1
2
k
∴
k
OM
•
k
l
=
-
1
2
k
×
k
=
-
1
2
（Ⅲ）
k
=±
2
2
【解答】
【点评】
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