【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b,斜边长为c.图中大正方形的面积可表示为（a+b）²，也可表示为c²+4×

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ab,即（a+b）²=c²+4×

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ab,所以a²+b²=c²．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C=∠D=90°，根据拼图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c.
求证：a²c²+a²b²=c⁴-b⁴．