定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．
【概念理解】
（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．
①△ADG与△BCG的形状是 等腰等腰三角形．
②若AD=4，则BD=88．
【问题探究】
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，AD=4，AB=k.
①当k=2时，请说明四边形ABEC是和谐四边形；
②是否存在值k,使得四边形ABCD是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【应用拓展】
（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB=4，AD=k,请直接写出k的值 463463．
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【考点】四边形综合题．
【答案】等腰；8；
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：218引用：1难度：0.1
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1．天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP=CQ；
（2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，CQ=2，求正方形ADBC的边长．2
发布：2025/6/13 22:0:1组卷：2504引用：13难度：0.2 -
2．如图1，在直线l上找一点C，使AC+BC最短，并在图中标出点C．
【简单应用】
（1）如图2，在等边△ABC中，AB=10，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC
的最小值，借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，
EM+MC的最小值就是线段 的长度，则EM+MC的最小值是 ；
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=140°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N，
当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=°．
【拓展应用】
如图4，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．发布：2025/6/14 2:0:1组卷：166引用：1难度：0.1 -
3．如图，将平行四边形DBEC沿BD折叠，点C恰好落在EB的延长线上点A处，连接AC，BD交于点O，AC=6，BD=8．若直线AE上有一点F，当△FCE为等腰三角形时，线段AF的长为 ．发布：2025/6/14 1:30:1组卷：199引用：1难度：0.1
