综合实践．

活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系
活动资源	提供长度不同的两种木棒各4根（如图）
入项任务	运用以上8根木棒（不折断）摆成长方形或正方形，且木棒全部用完．选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法（如图）进行研究．
问题探究过程
发现问题	请观察以上所有图形，并研究不同（2种或2种以上）摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？ 例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍． 小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积． 聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？ 你的发现是 丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和 丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和 ；（请用简洁的语言描述）
提出问题	请用代数式表示你的发现（设两种木棒的长度分别为a,b（其中a＞b），四种图形面积分别为S甲，S乙，S丙，S丁． 例如：小明的结论是S甲=2S乙=4ab. 小张的结论是S丁＞S乙， 你的结论是： S丙=S乙+S丁 S丙=S乙+S丁 ；
分析问题	请用所学的数学知识证明你的结论． 例如：小明的证明方法如下． 证：∵S甲=2a×2b=4ab,S乙=ab+ab=2ab, ∴S甲=2S乙， 你的证明： 证明：∵S乙=ab+ab=2ab,S丁=a2+b2． ∴S乙+S丁=a2+b2+2ab. 又∵S丙=（a+b）2=a2+b2+2ab, ∴S丙=S乙+S丁． 证明：∵S乙=ab+ab=2ab,S丁=a2+b2． ∴S乙+S丁=a2+b2+2ab. 又∵S丙=（a+b）2=a2+b2+2ab, ∴S丙=S乙+S丁． ；
拓展创新	把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为（a-b）的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系． 你的示意图： ； 你的关系式： （a+b）2=（a-b）2+4ab （a+b）2=（a-b）2+4ab ．
迁移应用	根据以上的研究结论，请解决数学问题，若 x + y = 31 ，xy=7，求x-y的值． 你的解答： 若x＞y,令a=x,b=y. 根据（a+b）2=（a-b）2+4ab,得（x+y）2=（x-y）2+4xy,即31=（x-y）2+4×7， 解得x-y= 3 ． 若x＜y,令a=y,b=x. 同理，得31=（x-y）2+4×7，解得x-y=- 3 ． ∴x-y=± 3 ． 若x＞y,令a=x,b=y. 根据（a+b）2=（a-b）2+4ab,得（x+y）2=（x-y）2+4xy,即31=（x-y）2+4×7， 解得x-y= 3 ． 若x＜y,令a=y,b=x. 同理，得31=（x-y）2+4×7，解得x-y=- 3 ． ∴x-y=± 3 ． ．