已知过圆C1：x2+y2=1上一点E（12，32）的切线，交坐标轴于A、B两点，且A、B恰好分别为椭圆C2：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点和右顶点．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）已知P为椭圆的左顶点，过点P作直线PM、PN分别交椭圆于M、N两点，若直线MN过定点Q（-1，0），求证：PM⊥PN．
E
（
1
2
，
3
2
）
x
2
a
2
y
2
b
2
【答案】（1）；
（2）证明：由（1）可知p（-2，0），
设直线MN方程为：x=my-1，M（x1，y1），N（x2，y2）
联立直线与椭圆的方程得：（m2+3）y2-2my-3=0，
y1+y2=，y1y2=，
x1+x2=（my1-1）+（my2-1）=m（y1+y2）-2，
x1x2=（my1-1）（my2-1）=m2y1y2-m（y1+y2）+1，
=（x1+2，y1）•（x2+2，y2）=（x1+2）（x2+2）+y1y2
=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2，
=m2y1y2-m（y1+y2）+1+2[m（y1+y2）-2]+4+y1y2，
=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1，
=（m2+1）（）+m（）+1，
==0，
所以PM⊥PN．
x
2
4
+
y
2
4
3
=
1
（2）证明：由（1）可知p（-2，0），
设直线MN方程为：x=my-1，M（x1，y1），N（x2，y2）
联立直线与椭圆的方程得：（m2+3）y2-2my-3=0，
y1+y2=
2
m
m
2
+
3
-
3
m
2
+
3
x1+x2=（my1-1）+（my2-1）=m（y1+y2）-2，
x1x2=（my1-1）（my2-1）=m2y1y2-m（y1+y2）+1，
PM
•
PN
=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2，
=m2y1y2-m（y1+y2）+1+2[m（y1+y2）-2]+4+y1y2，
=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1，
=（m2+1）（
-
3
m
2
+
3
2
m
m
2
+
3
=
-
3
m
2
-
3
+
2
m
2
+
m
2
+
3
m
2
+
3
所以PM⊥PN．
【解答】
【点评】
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