我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a,b,c为三角形三边，S为面积，则S=14[a2b2-（a2+b2-c22）2]①
这是中国古代数学的瑰宝之一．
而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p=a+b+c2（周长的一半），则S=p（p-a）（p-b）（p-c）②
（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①⇒②或者②⇒①）；
（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r,三角形三边长为a,b,c,仍记p=a+b+c2，S为三角形面积，则S=pr.
1
4
[
a
2
b
2
-
（
a
2
+
b
2
-
c
2
2
）
2
]
a
+
b
+
c
2
p
（
p
-
a
）
（
p
-
b
）
（
p
-
c
）
a
+
b
+
c
2
【考点】三角形的内切圆与内心；数学常识．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：813引用：6难度：0.5
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1．如图，O是△ABC的角平分线BO，CO的交点，请用∠A表示∠O．
下列说法正确的是（ ）某同学的做法如下：
∵O是△ABC的角平分线BO，CO的交点，
∴，∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB
∴．∠1+∠2=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB）
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴，∠1+∠2=12（180°-∠A）=90°-12∠A
∴在△BOC中，∠O=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-∠A）=90°+12∠A.12
发布：2024/12/23 15:30:2组卷：149引用：2难度：0.6 -
2．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B=90°．
（1）若AB=4，BC=3，
①求Rt△ABC外接圆的半径；
②求Rt△ABC内切圆的半径；
（2）连接AO并延长交BC于点D，若AB=6，tan∠CAD=，求此⊙O的半径．13发布：2024/12/23 12:0:2组卷：630引用：2难度：0.4 -
3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=40°，点I是△ABC的内心，BI的延长线交⊙O于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（ ）发布：2024/12/15 5:0:1组卷：554引用：5难度：0.6
