我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a,b,c为三角形三边，S为面积，则S=14[a2b2-（a2+b2-c22）2]①
这是中国古代数学的瑰宝之一．
而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p=a+b+c2（周长的一半），则S=p（p-a）（p-b）（p-c）②
（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①⇒②或者②⇒①）；
（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r,三角形三边长为a,b,c,仍记p=a+b+c2，S为三角形面积，则S=pr.
1
4
[
a
2
b
2
-
（
a
2
+
b
2
-
c
2
2
）
2
]
a
+
b
+
c
2
p
（
p
-
a
）
（
p
-
b
）
（
p
-
c
）
a
+
b
+
c
2
【考点】三角形的内切圆与内心；数学常识．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：816引用：6难度：0.5
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1．△ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，则AF、BD、CE的长依次为（ ）
发布：2025/6/15 14:0:2组卷：118引用：3难度：0.9 -
2．如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC=∠ABC．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若D为AB的中点，CD=6，AB=16
①求⊙O的半径；
②求△ABC的内心到点O的距离．发布：2025/6/15 12:30:1组卷：3693引用：6难度：0.1 -
3．已知：如图，Rt△ABC外切于⊙O，切点分别为E、F、H，∠ABC=90°，直线FE、CB交于D点，连接AO、HE，则下列结论：
①∠FEH=45°+∠FAO；②BD=AF；③AB2=AO•DF；④AE•CH=S△ABC
其中正确的是（ ）发布：2025/6/16 23:0:1组卷：201引用：3难度：0.9
