已知椭圆C：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，过椭圆C的右焦点F且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点．
（1）求直线ON的斜率k_ON；
（2）对于椭圆上的任意一点M，试证：总存在θ，使得等式

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

成立．

【考点】直线与圆锥曲线的综合．

【答案】（1）-；
（2）证明：显然与是同一平面内的两个不共线的向量，
由平面向量的基本定理知，对于这一平面内的向量，
有且只有一对实数λ、μ使得等式=λ+μ成立；
设M（x，y），由（1）中各点的坐标可得（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，
又∵点M（x，y）在椭圆C上，则代入①式，得
+3=3b²，整理可得
λ²（+3）+μ²（+3）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²…⑤；
由②和④得x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3（x₁-b）（x₂-b）
=4x₁x₂-3b（x₁+x₂）+6b²
=3b²-9b²+6b²=0；
又∵A，B两点在椭圆上，∴+3=3b²，+3=3b²，
代入⑤并化简，得λ²+μ²=1；
由λ²+μ²=1可得|λ|≤1，|μ|≤1，又λ是唯一确定的实数，并且|λ|≤1，
∴存在角θ，使得λ=cosθ成立，则有μ²=1-λ²=sin²θ，∴μ=±sinθ；
若μ=sinθ，则存在θ（θ∈R）使得等式=cosθ•+sinθ•成立；
若μ=-sinθ，由于-sinθ=sin（-θ），cosθ=cos（-θ）于是用θ代换-θ，
同样可证得存在θ（θ∈R）使得等式=cosθ•+sinθ•成立；
综上所述，对于椭圆上的任意一点M，总存在θ（θ∈R）使得等式=cosθ•+sinθ•成立．