已知点M与两个定点E（8，0），F（5，0）的距离之比等于2，设点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx与曲线C相交于不同的两点A、B．
（1）求k的取值范围；
（2）分别取k=0及k=12，在弦AB上，确定点Q的坐标，使|AQ||QB|=|OA||OB|（|OA|＜|OB|）成立．由此猜想出一般结论，并给出证明．
1
2
|
AQ
|
|
QB
|
=
|
OA
|
|
OB
|
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】（Ⅰ）（x-4）2+y2=4．
（Ⅱ）（1）．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则有0＜x1＜x0＜x2．
当k=0时，A（2，0），B（6，0），
由知，，
∴x0=3，即点Q的坐标为（3，0）．
当k=时，由
得方程5x2-32x+48=0，∴，
由知，，
整理得，∴
∴即点Q的坐标为（3，）．
猜想，点Q在直线x=3上．
证明如下：
方法1，由
得（1+k2）x2-8x+12=0，
∴①，②
由知，，
整理得
即点Q在定直线上，这条直线的方程是x=3．
（Ⅱ）（1）
-
3
3
＜
k
＜
3
3
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则有0＜x1＜x0＜x2．
当k=0时，A（2，0），B（6，0），
由
|
AQ
|
|
QB
|
=
|
OA
|
|
OB
|
x
0
-
2
6
-
x
0
=
2
6
∴x0=3，即点Q的坐标为（3，0）．
当k=
1
2
y = 1 2 x |
（ x - 4 ） 2 + y 2 = 4 |
得方程5x2-32x+48=0，∴
x
1
+
x
2
=
32
5
x
1
x
2
=
48
5
由
|
AQ
|
|
QB
|
=
|
OA
|
|
OB
|
x
0
-
x
1
x
2
-
x
0
=
x
1
x
2
整理得
x
0
=
2
x
1
x
2
x
1
+
x
2
=
3
y
0
=
3
2
∴即点Q的坐标为（3，
3
2
猜想，点Q在直线x=3上．
证明如下：
方法1，由
y = kx |
（ x - 4 ） 2 + y 2 = 4 |
得（1+k2）x2-8x+12=0，
∴
x
1
+
x
2
=
8
1
+
k
2
x
1
x
2
=
12
1
+
k
2
由
|
AQ
|
|
QB
|
=
|
OA
|
|
OB
|
x
0
-
x
1
x
2
-
x
0
=
x
1
x
2
整理得
x
0
=
2
x
1
x
2
x
1
+
x
2
=
3
即点Q在定直线上，这条直线的方程是x=3．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：15引用：2难度：0.5
