如图，在▱ABCD中，∠BAC=90°，∠B=45°，点P，Q分别是射线AD，射线CB上的动点，点E在线段CQ上，且CE=2AP，QE=2，设AP为x.
（1）当点Q运动到BC中点时，恰好PE⊥BC，求BC的长度；
（2）在（1）的条件下，在点P和点Q运动过程中，是否存在x的值，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）连接PC，当点P在运动时，12AP+PC有最小值为3+23，求此时CQ的长．
1
2
3
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）12．
（2）x=或x=10，
（3）6．
（2）x=
10
3
（3）6．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/13 8:0:9组卷：550引用：1难度：0.2
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1．等腰三角形AFG中AF=AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点（D在F、E之间），分别延长AD、AE交圆O于B、C两点（如图1），记∠BAF=α，∠AFG=β．
（1）求∠ACB的大小（用α，β表示）；
（2）连接CF，交AB于H（如图2）．若β=45°，且BC×EF=AE×CF．求证：∠AHC=2∠BAC；
（3）在（2）的条件下，取CH中点M，连接OM、GM（如图3），若∠OGM=2α-45°，
①求证：GM∥BC，GM=BC；12
②请直接写出的值．OMMC
发布：2025/6/7 16:0:2组卷：1490引用：8难度：0.1 -
2．已知，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是优弧CBD上的任意一点，AH=2，CH=4．
（1）如图1，
①求⊙O的半径；
②求sin∠CMD的值．
（2）如图2，直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连结BN交CD于点F，求HE•FH的值．发布：2025/6/7 7:0:1组卷：476引用：2难度：0.3 -
3．如图，四边形OABC中，AO∥BC，∠AOC=90°，AO=3，AB=5．以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O经过点C，且与BA的延长线交于F．延长AO交圆于E，连接FC交AE于点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求cos∠FAE的值；
（3）求线段OD的长．发布：2025/6/7 5:0:1组卷：79引用：1难度：0.3
