【问题情境】
（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．
其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）CD2=AD•BD，（2）AC2=AB•AD，（3）BC2=AB•BD；请你证明定理中的结论（3）BC2=AB•BD．
【结论运用】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若BE=210，求OF的长．
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【考点】相似形综合题．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/22 0:0:2组卷：1315引用：5难度：0.3
相似题
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1．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为边AB上一点，∠ACD=∠B．
（1）求证：AC2=AD•AB；
（2）如图2，过点A作AM⊥CD于M，交BC于点E，若AB=4AD，求的值；AMME
（3）如图，N为CD延长线上一点，连接BN，且∠NBD=2∠ACD，若，直接写出tan∠ACD=1n（n＞1）的值（用含n的代数式表示）．NDDC发布：2025/5/22 10:30:1组卷：557引用：4难度：0.1 -
2．问题背景：某学习小组正在研究如下问题：如图1所示，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，且点E、G分别在边BC、CD上，连接DE、BG，点M是BG中点，连接CM，试猜测CM与DE的数量关系与位置关系，并加以证明．
解决问题：小华从旋转的角度提出一个问题：如图2，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转一定角度，其他条件不变，此时“问题背景”中的结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．
拓展延伸：小刚提出了一个更加一般化的问题：如图3所示，▱ABCD∽▱ECGF，且，其他条件不变，此时CM与DE又有怎样的数量关系？请直接写出结果．ABBC=ab
发布：2025/5/22 10:30:1组卷：242引用：4难度：0.1 -
3．综合与实践
我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形．
实践操作：第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边长AB=，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H．3
第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点D'恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接GH．
问题解决：
（1）在图②中，sin∠ACB=，=；EGCG
（2）在图②中，CH2=CG•；从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
拓展延伸：
（3）将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点D'落在矩形的内部或一边上，设∠DCD'=a,若0°＜a≤90°，连接D'A，D'A的长度为m,则m的取值范围是 ．
发布：2025/5/22 9:30:1组卷：681引用：7难度：0.1
