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已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n=2-
1
a
n
-
1
（n≥2，n∈N），设数列{b_n}满足：b₁+2b₂+2²b₃+...+2^n-1b_n=
1
2
（
a
n
-
1
）
（n∈N）．
（Ⅰ）求证：数列{
1
a
n
-
1
}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{c_n}满足c_n=
1
a
n
-
1
，
n
=
3
m
b
n
，
n
≠
3
m
（m∈N，n∈N），求数列{c_n}的前n项和S_n．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【答案】（Ⅰ）证明过程见解析，

；
（Ⅱ）

；
（Ⅲ）

（

）

（

）

，

（

）

（

）

，

（

）

（

）

（

）

，

（k∈N）．

【解答】

【点评】

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发布：2024/8/3 8:0:9组卷：1312引用：5难度：0.3

相似题

1．定义
n
p
1
+
p
2
+
…
+
p
n
为n个正数p₁，p₂，…，p_n的“均倒数”．若已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”
1
3
n
+
1
，又b_n=
a
n
+
2
6
，则
1
b
1
b
2
+
1
b
2
b
3
+…+
1
b
9
b
10
=（　　）
A．
1
11
B．
10
11
C．
9
10
D．
11
12
发布：2024/12/29 11:30:2组卷：118引用：1难度：0.7
解析
2．设数列{a_n}的前n项和是S_n，令
T
n
=
S
1
+
S
2
+
⋯
+
S
n
n
，称T_n为数列a₁，a₂，…，a_n的“超越数”，已知数列a₁，a₂，…，a₅₀₄的“超越数”为2020，则数列5，a₁，a₂，…，a₅₀₄的“超越数”为（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
发布：2024/12/29 9:0:1组卷：127引用：3难度：0.5
解析
3．十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段（
1
3
，
2
3
），记为第一次操作；再将剩下的两个区[0，
1
3
]，[
2
3
，1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于
9
10
，则需要操作的次数n的最小值为（　　）（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）
A．4 B．5 C．6 D．7
发布：2024/12/29 13:30:1组卷：143引用：17难度：0.6
解析

1．定义np1+p2+…+pn为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“均倒数”13n+1，又bn=an+26，则1b1b2+1b2b3+…+1b9b10=（ ）

2．设数列{an}的前n项和是Sn，令Tn=S1+S2+⋯+Snn，称Tn为数列a1，a2，…，an的“超越数”，已知数列a1，a2，…，a504的“超越数”为2020，则数列5，a1，a2，…，a504的“超越数”为（ ）

1．定义
n
p
1
+
p
2
+
…
+
p
n
为n个正数p₁，p₂，…，p_n的“均倒数”．若已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”
1
3
n
+
1
，又b_n=
a
n
+
2
6
，则
1
b
1
b
2
+
1
b
2
b
3
+…+
1
b
9
b
10
=（　　）

2．设数列{a_n}的前n项和是S_n，令
T
n
=
S
1
+
S
2
+
⋯
+
S
n
n
，称T_n为数列a₁，a₂，…，a_n的“超越数”，已知数列a₁，a₂，…，a₅₀₄的“超越数”为2020，则数列5，a₁，a₂，…，a₅₀₄的“超越数”为（　　）