如图，已知抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=52．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE=2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
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【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x2-5x+4；
（2）对于y=x2-5x+4，令y=x2-5x+4=0，解得x=1或4，令x=0，则y=4，
故点B的坐标为（4，0），点C（0，4），
设直线BC的表达式为y=kx+t，则
，解得
，
故直线BC的表达式为y=-x+4，
设点P的坐标为（x，-x+4），则点Q的坐标为（x，x2-5x+4），
则PQ=（-x+4）-（x2-5x+4）=-x2+4x，
∵-1＜0，
故PQ有最大值，当x=2时，PQ的最大值为4=CO，
此时点Q的坐标为（2，-2）；
∵PQ=CO，PQ∥OC，
故四边形OCPQ为平行四边形；
（3）（0，1）或（0，-1）或（0，）．
（2）对于y=x2-5x+4，令y=x2-5x+4=0，解得x=1或4，令x=0，则y=4，
故点B的坐标为（4，0），点C（0，4），
设直线BC的表达式为y=kx+t，则
t = 4 |
4 k + t = 0 |
k = - 1 |
t = 4 |
故直线BC的表达式为y=-x+4，
设点P的坐标为（x，-x+4），则点Q的坐标为（x，x2-5x+4），
则PQ=（-x+4）-（x2-5x+4）=-x2+4x，
∵-1＜0，
故PQ有最大值，当x=2时，PQ的最大值为4=CO，
此时点Q的坐标为（2，-2）；
∵PQ=CO，PQ∥OC，
故四边形OCPQ为平行四边形；
（3）（0，1）或（0，-1）或（0，
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【解答】
【点评】
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发布：2025/5/25 6:0:1组卷：3330引用：22难度：0.4
相似题
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1．已知：抛物线M：y=x2+（m-1）x+（m-2）与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．
（Ⅰ）若x1x2＜0，且m为正整数，求抛物线M的解析式；
（Ⅱ）若x1＜1，x2＞1，求m的取值范围；
（Ⅲ）试判断是否存在m,使经过点A和点B的圆与y轴相切于点C（0，2）？若存在，求出m的值；若不存在，试说明理由；
（Ⅳ）若直线l：y=kx+b过点F（0，7），与（Ⅰ）中的抛物线M相交于P，Q两点，且使，求直线l的解析式．PFFQ=12发布：2025/9/14 22:0:1组卷：153引用：14难度：0.1 -
2．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．发布：2025/9/14 22:0:1组卷：679引用：56难度：0.1 -
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；
（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．发布：2025/9/14 22:0:1组卷：356引用：4难度：0.1
