如图1，已知抛物线y=ax2-23x+c与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，-1），点P是抛物线上位于对称轴l右侧一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P的横坐标为6时，求四边形ACBP的面积；
（3）如图2，对称轴l分别与x轴交于点D，与直线AC交于点N，过点P作PM⊥l于点M，连接BM，BN．在抛物线上是否存在点P，使△BMN为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2-x-1；
（2）四边形ACBP的面积是16；
（3）在抛物线上存在点P，使△BMN为直角三角形，点P的坐标为（3，0）或（1+，2）．
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（2）四边形ACBP的面积是16；
（3）在抛物线上存在点P，使△BMN为直角三角形，点P的坐标为（3，0）或（1+
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【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：69引用：1难度：0.3
相似题
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1．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2，5），与x轴相交于B（-1，0），C（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；
（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．发布：2025/5/26 7:30:2组卷：6166引用：8难度：0.2 -
2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；
（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t.
①在图1中，当-3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；
②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
③在图3中，若P是y轴左侧该抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/26 7:0:2组卷：163引用：1难度：0.3 -
3．规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O—函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P（1，1）在函数y=x2上，点Q（-1，-1）在函数y=-x-2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y=x2和y=-x-2互为“O—函数”，点P与点Q则为一组“XC点”．
（1）已知函数y=-2x-1和y=-互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”；6x
（2）已知函数y=x2+2x+4和y=4x+n-2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC点”；
（3）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）与y=2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB=，过顶点M作x轴的平行线l,点P在直线l上，记P的横坐标为-c2-2c+6c，连接OP，AP，BP．若∠OPA=∠OBP，求t的最小值．t发布：2025/5/26 7:30:2组卷：1091引用：4难度：0.3
