已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=43x的焦点重合，且直线y=bax与圆x2+y2-10x+20=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为k且不过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1，k,k2成等比数列，推断|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
b
a
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）+y2=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），点A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线l的方程代入椭圆方程，得x2+4（kx+m）2=4，
即（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，
则x1+x2=-，x1x2=．
由已知，k2=k1k2==，
则k2x1x2=（kx1+m）（kx2+m），
即km（x1+x2）+m2=0，所以-+m2=0，即（1-4k2）m2=0．
因为m≠0，则k2=，即k=±，从而x1+x2=2m，x1x2=2m2-2．
所以|OA|2+|OB|2=+++y2=+（kx1+m）2++（kx2+m）2
=（k2+1）（+）+2km（x1+x2）+2m2
=（k2+1）[（x1+x2）2-2x1x2]+2km（x1+x2）+2m2．
=[4m2-2（2m2-2）]-2m2+2m2=5为定值．
x
2
4
（2）设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），点A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线l的方程代入椭圆方程，得x2+4（kx+m）2=4，
即（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，
则x1+x2=-
8
km
4
k
2
+
1
4
m
2
-
4
4
k
2
+
1
由已知，k2=k1k2=
y
1
y
2
x
1
x
2
（
k
x
1
+
m
）
（
k
x
2
+
m
）
x
1
x
2
则k2x1x2=（kx1+m）（kx2+m），
即km（x1+x2）+m2=0，所以-
8
k
2
m
2
4
k
2
+
1
因为m≠0，则k2=
1
4
1
2
所以|OA|2+|OB|2=
x
2
1
y
2
1
x
2
2
2
x
2
1
x
2
2
=（k2+1）（
x
2
1
x
2
2
=（k2+1）[（x1+x2）2-2x1x2]+2km（x1+x2）+2m2．
=
5
4
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/19 8:0:9组卷：114引用：8难度：0.3
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