已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点P（1，22），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线l：mx+ny+13n=0（m,n∈R）交椭圆C于A、B两点，求证：以AB为直径的动圆恒经过定点（0，1）．
x
2
a
2
y
2
b
2
2
2
1
3
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】（1）；
（2）证明：因为动直线过（0，-）点．
当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+（y+）2=；
当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1．
由
，解得x=0，y=1，
所以当l与y轴平行时以AB为直径的圆过点（0，1）
若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=kx-
由
所以（18k2+9）x2-12kx-16=0，
设点A（x1，y1）、B（x2，y2）则x1+x2=，（9分）
设定点（0，1）为T，又因为=（x1，y1-1），=（x2，y2-1），
所以=x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=（1+k2）x1x2-+=-+=0，
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．
x
2
2
+
y
2
=
1
（2）证明：因为动直线过（0，-
1
3
当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+（y+
1
3
16
9
当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1．
由
x 2 + （ y + 1 3 ） 2 = 16 9 |
x 2 + y 2 = 1 |
所以当l与y轴平行时以AB为直径的圆过点（0，1）
若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=kx-
1
3
由
y = kx - 1 3 |
x 2 2 + y 2 = 1 |
设点A（x1，y1）、B（x2，y2）则x1+x2=
12
k
18
k
2
+
9
x
1
x
2
=
-
16
18
k
2
+
9
设定点（0，1）为T，又因为
TA
TB
所以
TA
•
TB
4
3
k
（
x
1
+
x
2
）
16
9
-
16
（
1
+
k
2
）
18
k
2
+
9
4
3
k
12
k
18
k
2
+
9
16
9
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：71引用：1难度：0.5
相似题
-
1．已知椭圆C的两焦点分别为
、F1（-22，0），长轴长为6．F2（22，0）
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．发布：2024/12/29 11:30:2组卷：442引用：6难度：0.8 -
2．阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为
，面积为8π，则椭圆C的方程为（ ）32发布：2024/12/29 12:0:2组卷：229引用：7难度：0.5 -
3．已知椭圆
=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（2，0），椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为6，则该椭圆的方程为（ ）x2a2+y2b2发布：2024/12/29 12:30:1组卷：12引用：2难度：0.7
