类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到．小明在数学学习中遇到了这样一个问题：“如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=α，点P在AB边上，过点P作PQ⊥AC于点Q，△APQ绕点A逆时针方向旋转，如图2，连接CQ．O为BC边的中点，连接PO并延长到点M，使OM=OP，连接CM．探究在△APQ的旋转过程中，线段CM，CQ之间的数量关系和位置关系”小明计划采用从特殊到一般的方法探究这个问题．
特例探究：
（1）填空：如图3，当α=30°时，CQCM=3232，直线CQ与CM所夹锐角的度数为30°30°；如图4，当α=45°时，CQCM=2222，直线CQ与CM所夹锐角的度数为45°45°；
一般结论：
（2）将△APQ绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段CQ，CM之间的数量关系如何（用含α的式子表示）？直线CQ与CM所夹锐角的度数是多少？请仅就图2所示情况说明理由；
问题解决
（3）如图4，在Rt△ABC中，若AB=4，α=45°，AP=3，将△APQ由初始位置绕点A逆时针方向旋转β角（0°＜β＜180°），当点Q到直线AC的距离为2时，请直接写出线段CM的值．
CQ
CM
3
2
3
2
CQ
CM
2
2
2
2
【考点】几何变换综合题．
【答案】；30°；；45°
3
2
2
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：883引用：4难度：0.1
相似题
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1．如图①，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3．点P从点A出发，沿折线AB-BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连接PQ交AC于点E，连接DP、DQ．设点P的运动时间为t秒，线段CE的长为y.
（1）求出y与t之间的函数关系式；
（2）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围；
（3）如图②，取PD的中点M，连接QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．发布：2025/5/26 8:0:5组卷：371引用：1难度：0.1 -
2．如图，在△ABC和△DEF中，∠BAC=∠EDF=90°，AB=AC，DE=DF，BC、EF交于点M，且点M为BC、EF的中点，将△DEF绕点M旋转．
（1）如图1，当△DEF旋转至点A在FD延长线上时，若BC=3，AF=2，tan∠BAF=6，求线段BF的长；5
（2）如图2，当△DEF旋转至点A在FD延长线上，点B在DE延长线上时，求证：BE+EF；2AF=2
（3）如图3，在△DEF旋转过程中，直线AD与直线CF交于点N，连接BN，P为BN的中点，连接AP，若AB=6，请直接写出线段AP的最大值．2
发布：2025/5/26 8:0:5组卷：256引用：1难度：0.3 -
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．动点P从点A向点C运动，速度为10个单位/秒，作PQ=PA交射线AB于点Q，设点P的运动时间为t（秒）（0＜t＜4）．
（1）用含t的代数式表示线段AQ的长；
（2）当点Q与点B重合时，求PC的长；
（3）设△APQ和△ABC重合部分面积为S，当PC=BQ时，求S的值；
（4）设AC中点为D，连接DQ，设点P关于DQ的对称点为P'，当P'落在AC边上时，直接写出t的值．发布：2025/5/26 7:0:2组卷：24引用：1难度：0.2
