已知椭圆C：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

（a＞b＞0）的离心率

e

=

2

2

，左、右焦点分别是F₁、F₂，且椭圆上一动点M到F₂的最远距离为

2

+

1

，过F₂的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当△F₁AB以∠F₁AB为直角时，求直线AB的方程；
（3）直线l的斜率存在且不为0时，试问x轴上是否存在一点P使得∠OPA=∠OPB，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】根据abc及其关系式求椭圆的标准方程．

【答案】（1）；
（2）y=-x+1或y=x-1；
（3）存在一点P使得∠OPA=∠OPB，证明如下：
由题意，假设点P存在，设点P坐标（m，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵直线l的斜率存在且不为0，∴可设斜率为k，且k≠0，则l的方程为y=k（x-1），
联立l与椭圆的方程，得，∴（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁x₂=，x₁+x₂=，
∵∠OPA=∠OPB，∴k_PA+k_PB=0．
∵k_PA=，k_PB=．
∴∵k_PA+k_PB=+=0，
∴y₁x₂+y₂x₁-m（y₁+y₂）=0，
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴k（x₁-1）x₂+k（x₂-1）x₁-m[k（x₁-1）+k（x₁-1）]=0，
整理可得2kx₁x₂-（k+mk）•（x₁+x₂）+2km=0，
∴2k•-（k+mk）•+2km=0，
又k≠0，
∴-（1+m）•+2m=0，
∴2k²-2-2k²（1+m）+m（1+2k²）=0，
∴m-2=0，即m=2，
∴x轴上存在一点P（2，0），使得∠OPA=∠OPB．