如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
【考点】二次函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：7229引用：149难度：0.3
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1．已知抛物线 C：y=x2-2mx+2m+1．
（1）若抛物线C经过原点，则m的值为 ，此时抛物线C的顶点坐标为 ．
（2）无论m为何值，抛物线C恒过一定点A，点A的坐标为 ．
（3）用含m的代数式表示抛物线C的顶点坐标，并说明无论m为何值，抛物线C的顶点都在同一条抛物线C'上．
（4）设抛物线C的顶点为B，当点B不与点A重合时，过点A作AE∥x轴，与抛物线C的另一交点为E，过点B作BD∥x轴，与抛物线C'的另一交点为D．
①求证：四边形AEBD是平行四边形；
②当▱AEBD是菱形时，求m的值．发布：2025/5/25 13:0:1组卷：109引用：1难度：0.4 -
2．已知二次函数C1：y=x2+（2m+1）x+m2的图象与y轴交于点C，顶点为D．
（1）若不论m为何值，二次函数C1图象的顶点D均在某一函数的图象上，直接写出此函数的解析式；
（2）若二次函数C1的图象与x轴的交点分别为M、N，设△MNC的外接圆的圆心为P．试说明⊙P与y轴的另一个交点Q为定点，并判断该定点Q是否在（1）中所求函数的图象上；
（3）当m=1时，将抛物线C1向下平移n（n＞0）个单位，得到抛物线C2，直线DC与抛物线C2交于A、B两点，若AD+CB=DC，求n的值．
发布：2025/5/25 13:30:1组卷：196引用：3难度：0.5 -
3．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB≌△CDA，且OA=1，B（0，2），抛物线y=ax2+ax-4a经过点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在一点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若x轴上有一点E的横坐标为2a,过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，抛物线对称轴与x轴交于点G，Q为抛物线（对称轴的左侧）上一动点，是否存在点Q使GF为∠EFQ的平分线？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/25 13:30:1组卷：135引用：3难度：0.2
