已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）若C上有两点P，Q满足∠POQ=45°，证明：1|OP|4+1|OQ|4是定值．
2
1
|
OP
|
4
+
1
|
OQ
|
4
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】（1）x2-y2=2；
（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由，得，
且，，
所以，
则，
即，
平方后得，
等式两边同时除以|OP|4•|OQ|4，
得，
即，即．
所以是定值，且该定值为．
（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
OP
•
OQ
=
|
OP
|
•
|
OQ
|
•
cos
45
°
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
2
2
|
OP
|
•
|
OQ
|
且
|
OP
|
2
=
x
2
1
+
y
2
1
=
2
x
2
1
-
2
=
2
y
2
1
+
2
|
OQ
|
2
=
x
2
2
+
y
2
2
=
2
x
2
2
-
2
=
2
y
2
2
+
2
所以
y
2
1
y
2
2
=
1
2
|
OP
|
2
•
|
OQ
|
2
+
x
2
1
x
2
2
-
2
x
1
x
2
•
|
OP
|
•
|
OQ
|
则
|
OP
|
2
-
2
2
•
|
OQ
|
2
-
2
2
=
1
2
|
OP
|
2
•
|
OQ
|
2
+
|
OP
|
2
+
2
2
•
|
OQ
|
2
+
2
2
-
2
x
1
x
2
•
|
OP
|
•
|
OQ
|
即
|
OP
|
2
．
|
OQ
|
2
+
2
|
OP
|
2
+
2
|
OQ
|
2
=
2
2
x
1
x
2
•
|
OP
|
•
|
OQ
|
平方后得
（
|
OP
|
2
•
|
OQ
|
2
+
2
|
OP
|
2
+
2
|
OQ
|
2
）
2
=
8
×
|
OP
|
2
+
2
2
•
|
OQ
|
2
+
2
2
•
|
OP
|
2
•
|
OQ
|
2
等式两边同时除以|OP|4•|OQ|4，
得
（
1
+
2
|
OP
|
2
+
2
|
OQ
|
2
）
2
=
2
（
1
+
2
|
OP
|
2
）
（
1
+
2
|
OQ
|
2
）
即
4
|
OP
|
4
+
4
|
OQ
|
4
=
1
1
|
OP
|
4
+
1
|
OQ
|
4
=
1
4
所以
1
|
OP
|
4
+
1
|
OQ
|
4
1
4
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/4/20 14:35:0组卷：260引用：5难度：0.3
