已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C的右顶点A在圆O：x2+y2=3上，且AF1•AF2=-1．
（1）求双曲线C的方程；
（2）动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，设O为坐标原点．求证：△OMN的面积为定值．
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
A
F
1
•
A
F
2
=
-
1
【考点】双曲线与平面向量．
【答案】（1）；
（2）设直线l与x轴交于D点，双曲线的渐近线方程为，
由于动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，
当动直线l的斜率不存在时，，
当动直线l的斜率存在时，且斜率，
不妨设直线l：y=kx+m，
故由
，
依题意，1-3k2≠0且m≠0，Δ=（-6mk）2-4（1-3k2）（-3m2-3）=0，
化简得3k2=m2+1，
故由
，
同理可求，，
所以，
又因为原点O到直线l：kx-y+m=0的距离，
所以，又由3k2=m2+1，
所以，
故△OMN的面积是为定值，定值为．
x
2
3
-
y
2
=
1
（2）设直线l与x轴交于D点，双曲线的渐近线方程为
y
=±
3
3
x
由于动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，
当动直线l的斜率不存在时，
l
：
x
=±
3
，
|
OD
|
=
3
，
|
MN
|
=
2
，
S
△
OMN
=
1
2
×
3
×
2
=
3
当动直线l的斜率存在时，且斜率
k
≠±
3
3
不妨设直线l：y=kx+m，
故由
y = kx + m |
x 2 3 - y 2 = 1 |
⇒
（
1
-
3
k
2
）
x
2
-
6
mkx
-
3
m
2
-
3
=
0
依题意，1-3k2≠0且m≠0，Δ=（-6mk）2-4（1-3k2）（-3m2-3）=0，
化简得3k2=m2+1，
故由
y = kx + m |
y = 3 3 x |
⇒
x
M
=
m
3
3
-
k
同理可求，
x
N
=
-
m
3
3
+
k
所以
|
MN
|
=
1
+
k
2
|
x
M
-
x
N
|
=
2
3
|
m
|
k
2
+
1
|
1
-
3
k
2
|
又因为原点O到直线l：kx-y+m=0的距离
d
=
|
m
|
k
2
+
1
所以
S
△
OMN
=
1
2
|
MN
|
d
=
3
m
2
|
1
-
3
k
2
|
所以
S
△
OMN
=
3
|
m
|
k
2
+
1
|
1
-
3
k
2
|
=
3
故△OMN的面积是为定值，定值为
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：213引用：3难度：0.5
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