问题提出：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题．
如图①，两条长度相等的线段AB和CD相交于O点，∠AOC=60°，直线AC与直线BD的夹角为α，求线段AC、BD、AB满足的数量关系．
分析：考虑将AC、BD和AB集中到同一个三角形中，以便运用三角形的知识寻求三条线段的数量关系：
如图②，作CE∥AB且CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，从而AC=BE；
由于CD=AB=CE，∠ECD=∠AOC=60°，所以△ECD是等边三角形，故ED=AB；
通过平行又求得∠EBD=180°-α．
在△BED中，研究三条线段的大小关系就可以了．
如图②，若AC=23，BD=6，α=30°，请直接写出线段AB的长 221221；
问题解决：
如图③，矩形ABCD中，E、F分别是AD、CD上的点，满足AE=CD，DE=CF，求证：AF=2CE；
拓展应用：
如图④，△ABC中，∠A=45°，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O，BD=CE，∠BOC=120°，若BE=4，CD=32，则BD=5858．
AC
=
2
3
21
21
AF
=
2
CE
CD
=
3
2
58
58
【考点】四边形综合题．
【答案】2；
21
58
【解答】
【点评】
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发布：2025/6/5 21:0:1组卷：505引用：1难度：0.1
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1．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：．
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，探求AH满足的数量关系．（可利用（2）得到的结论）
发布：2025/6/17 11:30:1组卷：879引用：1难度：0.3 -
2．如图在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OACB的顶点A，B分别在x轴、y轴上，已知OA=3，点D为y轴上一点，其坐标为（0，1），若连接CD，则CD=5，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段A-C-B的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒
（1）求B，C两点坐标；
（2）求△OPD的面积S关于t的函数关系式；
（3）当点D关于OP的对称点E落在x轴上时，请直接写出点E的坐标，并求出此时的t值．发布：2025/6/17 10:30:2组卷：135引用：3难度：0.1 -
3．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，若BE⊥CD，试证明∠EFD=∠BCD．发布：2025/6/18 8:30:2组卷：215引用：3难度：0.1
