问题提出：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题．
如图①，两条长度相等的线段AB和CD相交于O点，∠AOC=60°，直线AC与直线BD的夹角为α，求线段AC、BD、AB满足的数量关系．
分析：考虑将AC、BD和AB集中到同一个三角形中，以便运用三角形的知识寻求三条线段的数量关系：
如图②，作CE∥AB且CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，从而AC=BE；
由于CD=AB=CE，∠ECD=∠AOC=60°，所以△ECD是等边三角形，故ED=AB；
通过平行又求得∠EBD=180°-α．
在△BED中，研究三条线段的大小关系就可以了．
如图②，若AC=23，BD=6，α=30°，请直接写出线段AB的长 221221；
问题解决：
如图③，矩形ABCD中，E、F分别是AD、CD上的点，满足AE=CD，DE=CF，求证：AF=2CE；
拓展应用：
如图④，△ABC中，∠A=45°，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O，BD=CE，∠BOC=120°，若BE=4，CD=32，则BD=5858．
AC
=
2
3
21
21
AF
=
2
CE
CD
=
3
2
58
58
【考点】四边形综合题．
【答案】2；
21
58
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：467引用：1难度：0.1
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1．如图，在菱形ABCD中，AB=10，sinB=
，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．35
（1）如图1，点G在AC上．求证：FA=FG．
（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似（包括全等）？
发布：2025/1/28 8:0:2组卷：2055引用：3难度：0.1 -
2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）求四边形ABDE的周长和面积；
（3）记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．发布：2025/1/28 8:0:2组卷：577引用：1难度：0.2 -
3．如图，菱形ABCD中，AB=5，连接BD，sin∠ABD=
，点P是射线BC上一点（不与点B重合），AP与对角线BD交于点E，连接EC．55
（1）求证：AE=CE；
（2）当点P在线段BC上时，设BP=n（0＜n＜5），求△PEC的面积；（用含n的代数式表示）
（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，请直接写出BP的长．发布：2025/1/28 8:0:2组卷：255引用：1难度：0.1
