平面直角坐标系xOy中，双曲线C：x23-y26=1的右焦点为F，T为直线l：x=1上一点，过F作TF的垂线分别交C的左、右支于P，Q两点，交l于点A．
（1）证明：直线OT平分线段PQ；
（2）若|PA|=3|QF|，求|TF|2的值．
x
2
3
-
y
2
6
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】（1）证明：依题意，xF==3，即F（3，0），设T（1，2t），则直线PQ的方程为x=ty+3，
由
，得（2t2-1）y2+12ty+12=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则
，故t2≠，y1+y2=-，y1y2=，
∴x1+x2=t（y1+y2）+6=-，
又直线PQ分别交C的左、右支于P，Q两点，
∴x1x2=（ty1+3）（ty2+3）=t2y1y2+3t（y1+y2）+9=-＜0，故t2＞，
∴PQ的中点为N（-，-），
∴kON=2t，kOT=2t，故O，T，N三点共线，即直线OT平分线段PQ；
（2）12+3．
3
+
6
由
x = ty + 3 |
2 x 2 - y 2 = 6 |
则
2 t 2 - 1 ≠ 0 |
Δ = 144 t 2 - 48 （ 2 t 2 - 1 ） ＞ 0 |
1
2
12
t
2
t
2
-
1
12
2
t
2
-
1
∴x1+x2=t（y1+y2）+6=-
6
2
t
2
-
1
又直线PQ分别交C的左、右支于P，Q两点，
∴x1x2=（ty1+3）（ty2+3）=t2y1y2+3t（y1+y2）+9=-
9
+
6
t
2
2
t
2
-
1
1
2
∴PQ的中点为N（-
3
2
t
2
-
1
6
t
2
t
2
-
1
∴kON=2t，kOT=2t，故O，T，N三点共线，即直线OT平分线段PQ；
（2）12+3
7
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：362引用：2难度：0.2
