阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2=R2-2Rr.
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r,外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI=d,则有d2=R2-2Rr.
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．
∴△MDI∽△ANI．
∴IMIA=IDIN，
∴IA•ID=IM•IN，①
如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，
如图2，动手连接BE，BD，BI，IF．
∵DE是⊙O的直径，所以∠DBE=90°．
∵⊙I与AB相切于点F，所以∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA．
∵∠BAD=∠E（同弧所对的圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB，
∴IADE=IFBD．
∴IA•BD=DE•IF②
（1）观察发现：IM=R+dR+d，IN=R-dR-d（用含R，d的代数式表示）；
（2）请观察式子①和式子②，并利用任务（1）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分．
IM
IA
ID
IN
IA
DE
IF
BD
【考点】圆的综合题．
【答案】R+d；R-d
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：90引用：1难度：0.4
相似题
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1．如图，直线y=2交y轴于点A，点B（m,2）（其中m＞0）在直线y=2上运动．以线段AB为斜边向下作Rt△ABC．
（1）若m=5，且点C恰好落在x轴上，则点C的坐标为 ；
（2）若有且仅有一个点C恰好落在x轴上．
①此时m的值为 ；
②如图2，以AB为直径作半圆，将线段AB绕点A顺时针旋转，使点B落在x轴正半轴上，则半圆里未被线段AB扫过的部分（即弓形AMH）面积为 ；
（3）若点C不会落在x轴上，则m的取值范围为 ．
发布：2025/6/17 6:30:2组卷：73引用：1难度：0.3 -
2．对于坐标系中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，能使得∠APB=60°，则称点P为⊙C的关联点．
如图，已知点P（0.5，0）、Q（1，0）、M（2，0）、N（3，0）．
（1）若⊙O的半径为1，点A，B在⊙O上运动．
①∠AMB的最大值为 °；
②在点P、Q、M、N中，是⊙O关联点的有 ；
③⊙O所有关联点形成的区域面积为 ；
④过点M与G（0，）作直线l,直线l上的点H（m,n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；23
（2）若要使上题中，线段MG上所有点都是⊙O的关联点，则⊙O半径应该扩大，请求出⊙O半径r的最小值．发布：2025/6/17 6:30:2组卷：94引用：1难度：0.3 -
3．如图1，已知点A（6，0），B（0，6），点C在半径为3的⊙O上运动，将OC顺时针旋转90°得到OD．
（1）当OC∥AB时，则∠BOC=°；
（2）如图2，若点E在线段AB上运动，连接DE，AC，BC．
①线段DE长度的最小值是 ；
②△ABC的面积最大值是 ．
（3）如图3，连接AD，BC．
①当OC∥AD时，求证：BC是⊙O的切线；
②在整个运动过程中，若直线AD，BC交于点P，则下列命题错误的是 ．
A．线段AD，BC的关系为互相垂直且相等
B．点P的纵坐标的最小值为3-32
C．点P的纵坐标的最大值为3+32
D．点P的运动轨迹为圆弧，该圆弧长为2π2
发布：2025/6/17 6:30:2组卷：90引用：1难度：0.1
