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设A₁，B₁，C₁是直线l₁上的任意三点，A₂，B₂，C₂是另一条直线l₂上的任意三点，A₁B₂和B₁A₂交于L，A₁C₂和A₂C₁交于M，B₁C₂和B₂C₁交于N．求证：L，M，N三点共线．

【考点】梅涅劳斯定理与塞瓦定理．

【答案】见试题解答内容

【解答】

【点评】

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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：270引用：1难度：0.1

相似题

1．设P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB上的点．若
BP
PC
•
CQ
QA
•
AR
RB
=
1
，证明：AP，BQ，CR交于一点．
发布：2024/4/20 14:35:0组卷：416引用：1难度：0.5
解析
2．如图，△ABC的垂心为H，AD⊥BC于D，点E在△ABC的外接圆上，且满足
BE
CE
=
AB
AC
，直线ED交外接圆于点M．求证：∠AMH=90°．
发布：2024/9/11 2:0:8组卷：1080引用：1难度：0.1
解析
3．梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有
AF
FB
•
BD
DC
•
CE
EA
=1．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有
AF
FB
=
AG
BD
，
CE
EA
=
CD
AG
，
∴
AF
FB
•
BD
DC
•
CE
EA
=
AG
BD
•
BD
DC
•
CD
AG
=1．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：
（1）如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：
BX
XC
•
CZ
ZA
•
AY
YB
=1，请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：
（2）如图（4），等边△ABC的边长为3，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF=2AF，CF与AD交于点E，试求AE的长．
（3）如图（5），△ABC的面积为4，F为AB中点，延长BC至D，使CD=BC，连接FD交AC于E，求四边形BCEF的面积．
发布：2024/10/1 11:0:2组卷：830引用：1难度：0.2
解析

设A1，B1，C1是直线l1上的任意三点，A2，B2，C2是另一条直线l2上的任意三点，A1B2和B1A2交于L，A1C2和A2C1交于M，B1C2和B2C1交于N．求证：L，M，N三点共线．

1．设P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB上的点．若BPPC•CQQA•ARRB=1，证明：AP，BQ，CR交于一点．

2．如图，△ABC的垂心为H，AD⊥BC于D，点E在△ABC的外接圆上，且满足BECE=ABAC，直线ED交外接圆于点M．求证：∠AMH=90°．

设A₁，B₁，C₁是直线l₁上的任意三点，A₂，B₂，C₂是另一条直线l₂上的任意三点，A₁B₂和B₁A₂交于L，A₁C₂和A₂C₁交于M，B₁C₂和B₂C₁交于N．求证：L，M，N三点共线．

1．设P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB上的点．若
BP
PC
•
CQ
QA
•
AR
RB
=
1
，证明：AP，BQ，CR交于一点．

2．如图，△ABC的垂心为H，AD⊥BC于D，点E在△ABC的外接圆上，且满足
BE
CE
=
AB
AC
，直线ED交外接圆于点M．求证：∠AMH=90°．