已知F1是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点，上顶点B的坐标是（0，2），离心率为63．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）O为坐标原点，直线l过点F1且与椭圆相交于P，Q两点，过点F1作EF1⊥PQ，与直线x=-3相交于点E，连接OE，与线段PQ相交于点M，求证：点M为线段PQ的中点．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
（
0
，
2
）
6
3
【答案】（1）+=1．
（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点坐标G（x0，y0），
直线l的斜率为0时，直线l与x轴重合，EF1与直线x=-3平行，不符合题意，舍去．
设直线l的方程为my=x+2，
联立
，化为（m2+3）y2-4my-2=0，
Δ＞0，
y1+y2=，
∴y0=（y1+y2）=，x0=my0-2=-，
∴线段PQ的中点坐标G（-，）．
直线EF1的方程为y=-m（x+2），∴E（-3，m）．
∴直线OE的方程为：y=-x，即mx+3y=0，
联立
，解得M（-，），
∴G与M重合，
因此点M为线段PQ的中点．
x
2
6
y
2
2
（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点坐标G（x0，y0），
直线l的斜率为0时，直线l与x轴重合，EF1与直线x=-3平行，不符合题意，舍去．
设直线l的方程为my=x+2，
联立
my = x + 2 |
x 2 6 + y 2 2 = 1 |
Δ＞0，
y1+y2=
4
m
m
2
+
3
∴y0=
1
2
2
m
m
2
+
3
6
m
2
+
3
∴线段PQ的中点坐标G（-
6
m
2
+
3
2
m
m
2
+
3
直线EF1的方程为y=-m（x+2），∴E（-3，m）．
∴直线OE的方程为：y=-
m
3
联立
mx + 3 y = 0 |
x - my + 2 = 0 |
6
m
2
+
3
2
m
m
2
+
3
∴G与M重合，
因此点M为线段PQ的中点．
【解答】
【点评】
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